Родился 27 мая 1960 года в поселке Кононове Сухобузимского района Красноярского края.

С 1979 по 1982 год проходил службу по призыву в Приморском крае.

В 1983 году поступил на службу в органы внутренних дел. С 1989 года – командир взвода специального назначения роты ППС. С 1993 по 1996 год – заместитель командира – начальник штаба отряда милиции особого назначения при МВД Республики Саха (Якутия), с 1996 года – командир ОМОНа. С 1995 года дважды направлялся в служебные командировки в Северо-Кавказский регион Российской Федерации.

С первых дней своей очередной командировки, которая началась 13 декабря 1999 года, подполковник милиции Александр Рыжиков приступил к налаживанию добрых отношений с местным населением. Это помогало в дальнейшем: уставшие от бандитского беспредела люди, стали все чаще помогать в так необходимой в оперативной работе информацией. Рыжиков лично организовал и провел в районе селения Сержень-Юрт специальные мероприятия по выявлению незаконных вооруженных формирований, изъятию оружия и боеприпасов.

18 декабря принимал непосредственное участие в задержании пособников Хаттаба. В ходе операции были задержаны три преступника, находившиеся в федеральном розыске, у них изъято оружие, фото и видеоматериалы, указывающие на их причастность к террористической деятельности.

7 января 2000 года в комендатуру Шалинского района поступила оперативная информация о том, что в цехах трубного завода населенного пункта Герменчук боевики удерживают заложников, в числе которых несколько сотрудников местного РОВД. Для проведения специальной операции по их освобождению была направлена оперативно-следственная группа в сопровождении сводного отряда якутского ОМОНа и приволжского СОБРа.

Подъезжая к месту, откуда планировалось провести разведку для проверки полученной информации, бойцы сводного отряда попали в засаду. Бандгруппа значительно превосходила по численности прибывших сотрудников милиции. Боевики, устроив на территории завода свою базу, устроили из нее настоящую крепость, оборудовав в цехах огневые точки.   Было очевидно, что ими был пристрелян каждый метр окружающей местности.

Укрывшись от огня в арыках, стоя по пояс в ледяной воде, грязевой каше бойцы приняли неравный бой.

После гибели пулеметчика ОМОНа Александр Рыжиков с группой сотрудников сумел подобраться к пулеметной точке противника и огнем из автомата уничтожил ее. В следующие мгновения он уже отдавал распоряжения об эвакуации с поля боя раненых и убитых сотрудников сводного отряда и Шалинского РОВД. Он до последней минуты вел огонь по бандитам, прикрывая отход товарищей…

Указом Президента Российской Федерации от 29 мая 2000 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания на территории Северо-Кавказского региона, подполковнику милиции Рыжикову Александру Александровичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).

Награжден орденом Мужества, многими медалями.

В Якутске именем Героя назван один из скверов и установлен памятник.

Похоронен в городе Якутске.