Родился 23 февраля 1960 года в деревне Пушкарёво Туринского района Свердловской области. В 1979 – 1981 годах проходил службу в отдельной Киркинесской бригаде морской пехоты Северного флота.

В органах внутренних дел с декабря 1982 года. Одним из первых пришёл в созданный в декабре 1988 года отряд милиции особого назначения ГУВД Свердловской области. Прошел путь от командира взвода до заместителя командира батальона. Неоднократно выезжал в служебные командировки в Северо-Кавказский регион Российской Федерации.

Очередная командировка в горячий регион началась для Виктора Чечвия 16 декабря 1999 года.

27 декабря штурмовая группа ОМОНа Свердловской области под командованием майора милиции Виктора Чечвия совместно с батальоном Отдельной бригады оперативного назначения внутренних войск МВД России получила задачу по освобождению от боевиков жилого массива в Старопромысловском районе Грозного, где уже вторую неделю не прекращались ожесточенные бои. Для Виктора Степановича и его подчиненных шел одиннадцатый день командировки. Уже были потери, уже чувствовалась психологическая измотанность. Но подчиненные майора Чечвия действовали очень четко и слаженно. При выдвижении в район улиц Красина и Кировоградской омоновцы с самого утра подверглись снайперскому и массированному стрелковому огню боевиков.

Виктор Чечвий быстро оценил обстановку и, определив опасные направления, произвел расстановку личного состава и приданных сил и средств, организовал ответные действия. К полудню свердловчане полностью уничтожили укрепленный опорный пункт боевиков на улице Красина и подавили свыше десяти огневых точек противника. Причем две из них уничтожил майор милиции Чечвий лично.

Когда в батальоне внутренних войск появился раненый, Виктор Степанович, рискуя жизнью, на себе вынес его из-под обстрела и оказал первую помощь. Бой же к середине дня возобновился с новой силой. В районе улиц Кировоградская и 2-я линия был обнаружен еще один опорный пункт противника.

Виктор Чечвий принял решение силами штурмовой группы ОМОНа обойти его с фланга и подавить огнем. Но при выдвижении на исходную позицию группа подверглась массированному минометному обстрелу боевиков. Виктор Степанович получил множественные осколочные ранения в ноги. Огнем из автомата он до последнего прикрывал отход личного состава штурмовой группы из опасного района.

Осколком очередной мины майор милиции Виктор Чечвий был тяжело ранен в голову и при эвакуации с поля боя скончался.

Указом Президента Российской Федерации от 26 апреля 2000 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении служебного долга в ходе проведения контртеррористической операции в Северо-Кавказском регионе, майору милиции Чечвию Виктору Степановичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).

Награжден орденом Мужества, медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени с мечами, медалью «За отвагу».

Именем Героя названы средняя школа и улица в городе Берёзовский, у школы установлен памятный знак.

В Екатеринбургском музее Военно-морского флота в честь Виктора Чечвия установлена мемориальная доска.

Похоронен в городе Берёзовский Свердловской области.